球面調和関数

直交座標 $x,y,z$ の微分を球座標に変換する。式\eqref{eq:scoordinate}に連鎖律 $$ \pdv{x_i} = \pdv{r}{x_i}\pdv{r} + \pdv{\theta}{x_i}\pdv{\theta} + \pdv{\phi}{x_i}\pdv{\phi} $$ を適用すると $$ \begin{align*} \pdv{x} &= \sin\theta\cos\phi\pdv{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\pdv{\theta}-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}\pdv{\phi} \\ \pdv{y} &= \sin\theta\sin\phi\pdv{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi\pdv{\theta}+\frac{\cos\phi}{r\sin\theta}\pdv{\phi} \\ \pdv{z} &= \cos\theta\pdv{r}-\frac{1}{r}\sin\theta\pdv{\theta} \end{align*} $$ 式\eqref{eq:Lxyz}の直交座標 $x,y,z$ とその微分に、式\eqref{eq:scoordinate}と上式を代入する。

演算子なので右側に任意の関数 $F(\bm{x})$ があると考えて計算するとよい。 $$ \begin{align*} L_x^2F(\bm{x}) &= i^2\left( \sin\phi\pdv{\theta}+\cot\theta\cos\phi\pdv{\phi} \right)^{\!2}F \\ &= -\sin\phi\left( \sin\phi\pdv[2]{F}{\theta}-\frac{\cos\phi}{\sin^2\theta}\pdv{F}{\phi}+\cot\theta\cos\phi\pdv{F}{\theta}{\phi} \right) \\ &\qquad -\cot\theta\cos\phi\left( \cos\phi\pdv{F}{\theta}+\sin\phi\pdv{F}{\theta}{\phi}-\cot\theta\sin\phi\pdv{F}{\phi}+\cot\theta\cos\phi\pdv[2]{F}{\phi} \right) \end{align*} $$ $$ \begin{align*} L_y^2F(\bm{x}) &= i^2\left( -\cos\phi\pdv{\theta}+\cot\theta\sin\phi\pdv{\phi} \right)^{\!2}F \\ &= -\cos\phi\left( \cos\phi\pdv[2]{F}{\theta}+\frac{\sin\phi}{\sin^2\theta}\pdv{F}{\phi}-\cot\theta\sin\phi\pdv{F}{\theta}{\phi} \right) \\ &\qquad -\cot\theta\sin\phi\left( \sin\phi\pdv{F}{\theta}-\cos\phi\pdv{F}{\theta}{\phi}+\cot\theta\cos\phi\pdv{F}{\phi}+\cot\theta\sin\phi\pdv[2]{F}{\phi} \right) \end{align*} $$ $$ L_z^2F(\bm{x}) = (-i)^2\left( \pdv{\phi} \right)^{\!2}F = -\pdv[2]{F}{\phi} $$ 以上を足すと $$ \begin{align*} \bm{L}^2F(\bm{x}) &= -\left[ \pdv[2]{F}{\theta}+\cot\theta\pdv{F}{\theta}+\cot^2\theta\pdv[2]{F}{\phi}+\pdv[2]{F}{\phi} \right] \\ &= -\left[ \frac{1}{\sin\theta}\pdv{\theta}\left(\sin\theta\pdv{\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\pdv[2]{\phi} \right]F \end{align*} $$

$L_\pm$ もまた定義通りに計算する。 $$ \begin{align*} L_\pm &= L_x \pm iL_y \\ &= i\left( \sin\phi\pdv{\theta}+\cot\theta\cos\phi\pdv{\phi} \right) \pm i\cdot i\left( -\cos\phi\pdv{\theta}+\cot\theta\sin\phi\pdv{\phi} \right) \\ &= \pm(\cos\phi\pm i\sin\phi)\pdv{\theta} +i\cot\theta(\cos\phi\pm i\sin\phi)\pdv{\phi} \\ &= \em^{\pm i\phi}\left( \pm\pdv{\theta}+i\cot\theta\pdv{\phi} \right) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \int_0^{2\pi} \!\mathrm{d}\phi \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\right)^{\!\!\ast} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im’\phi}\right) \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \!\mathrm{d}\phi\; \em^{i(m’-m)\phi} \\ &= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \!\mathrm{d}\phi\; 1 & (m=m’) \\ \displaystyle\frac{1}{2\pi}\left[ \frac{1}{i(m’-m)}\em^{i(m’-m)\phi} \right]_0^{2\pi} & (m\neq m’) \end{array} \right. \\ &= \delta_{mm’} \end{align*} $$

$\cos\theta=x$ に置換して、Legendre陪関数の直交性\eqref{eq:Legendre_orth}を用いる。 $$ \begin{align*} & \int_0^{\pi} \!\sin\theta \mathrm{d}\theta\; \Theta_{lm}(\theta)^\ast \cdot \Theta_{l’m}(\theta) \\ &= \sqrt{\frac{(2l+1)(2l’+1)}{2^2}\frac{(l-m)!(l’-m)!}{(l+m)!(l’+m)!}} \int_0^{\pi} \!\sin\theta \mathrm{d}\theta P_l^m(\cos\theta)P_{l’}^m(\cos\theta) \\ &= \sqrt{\frac{(2l+1)(2l’+1)}{2^2}\frac{(l-m)!(l’-m)!}{(l+m)!(l’+m)!}} \int_{-1}^{1} \!\mathrm{d}x P_l^m(x)P_{l’}^m(x) \\ &= \sqrt{\frac{(2l+1)(2l’+1)}{2^2}\frac{(l-m)!(l’-m)!}{(l+m)!(l’+m)!}} \cdot \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{ll’} \\ &= \delta_{ll’} \end{align*} $$

式\eqref{eq:Lps}より $$ \em^{i\phi}\left( \pdv{\theta}+i\cot\theta\pdv{\phi} \right)Y_{ll}(\theta) = 0 $$ $\phi$ の部分は式\eqref{eq:YTheta}で既に得られているので、代入すると $$ \begin{align*} \em^{i\phi}\left( \pdv{\theta}+i\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\pdv{\phi} \right)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Theta_{ll}(\theta)\em^{il\phi} &= 0 \\ \therefore\;\; \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{i(l+1)\phi} \left( \dv{\theta}-l\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \right)\Theta_{ll}(\theta) &= 0 \end{align*} $$

$u=\cos\theta$ とおくと、$\dv{u}{\theta}=-\sin\theta$ より $$ \begin{align*} \int_0^\pi \!\mathrm{d}\theta\, \sin^{2l+1}\theta &= \int_0^\pi \!\mathrm{d}\theta\, \sin\theta(1-\cos^2\theta)^l \\ &= \int_{-1}^1\!\mathrm{d}u\, (1-u^2)^l \\ &= \int_{-1}^1\!\mathrm{d}u\, (1-u)^l(1+u)^l \\ &= \int_{-1}^1\!\mathrm{d}u\, (1-u)^l \cdot \frac{l!}{(2l)!}\dv[l]{u}(1+u)^{2l} \\ &= \frac{l!}{(2l)!} \left( \left[ (1-u)^l\dv[l-1]{u}(1+u)^{2l} \right]_{-1}^1 + l\int_{-1}^1\!\mathrm{d}u\, (1-u)^{l-1} \cdot \dv[l-1]{u}(1+u)^{2l} \right) \\ &= \cdots \\ &= 0 + \frac{l!}{(2l)!}\cdot l! \int_{-1}^1\!\mathrm{d}u\, (1+u)^{2l} \\ &= \frac{(l!)^2}{(2l)!}\left[ \frac{1}{2l+1}(1+u)^{2l+1} \right]_{-1}^1 \\ &= \frac{(l!)^2}{(2l)!}\frac{2^{2l+1}}{2l+1} \\ &= (2^ll!)^2\frac{2}{(2l+1)!} \end{align*} $$ よって $$ \begin{align*} \int_0^\pi \!\sin\theta\mathrm{d}\theta\, \left|\frac{1}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}} \sin^l\theta \right|^2 &= \frac{1}{(2^ll!)^2}\frac{(2l+1)!}{2} \int_0^\pi \!\mathrm{d}\theta\, \sin^{2l+1}\theta \\ &= \frac{1}{(2^ll!)^2}\frac{(2l+1)!}{2} \cdot (2^ll!)^2\frac{2}{(2l+1)!} \\ &= 1 \end{align*} $$

$Y_{lm}(\theta)$ に下降演算子 $L_-$ を作用させると $$ \begin{align*} L_- Y_{lm}(\theta,\phi) &= \sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_{l,m-1}(\theta,\phi) \\ &= \sqrt{\frac{(l+m)(l-m+1)}{2\pi}}\em^{i(m-1)\phi}\Theta_{l,m-1}(\theta) \end{align*} $$ 一方で $L_-$ の座標表示\eqref{eq:Lms}を考えると $$ \begin{align*} L_- Y_{lm}(\theta,\phi) & = \em^{-i\phi}\left( -\pdv{\theta}+i\cot\theta\pdv{\phi} \right) Y_{lm}(\theta,\phi) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{-i\phi}\em^{im\phi}\left( -\dv{\theta}-m\cot\theta \right) \Theta_{lm}(\theta) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{i(m-1)\phi}\left( \sin\theta\dv{\Theta_{lm}(\theta)}{(\cos\theta)}+m\dv{\sin\theta}{(\cos\theta)}\Theta_{lm}(\theta) \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{i(m-1)\phi} \frac{\sin\theta}{\sin^m\theta}\dv{(\cos\theta)}\Bigl( \sin^m\theta\cdot\Theta_{lm}(\theta) \Bigr) \end{align*} $$ 2行目から3行目の変形では、 $$ \dv{\theta} = \dv{\cos\theta}{\theta}\dv{(\cos\theta)} = -\sin\theta\dv{(\cos\theta)} $$ および、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ の両辺を $\cos\theta$ で微分して $$ 2\cos\theta+2\sin\theta\dv{\sin\theta}{(\cos\theta)}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \cot\theta = -\dv{\sin\theta}{(\cos\theta)} $$ を用いた。
右辺どうしを等号で結んで整理すると、与式を得る。

式\eqref{eq:YTheta}に対して変形する。 $$ \begin{align*} Y_{lm}(\theta,\phi) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\Theta_{lm}(\theta) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}\cdot \Bigl( \sin^m\theta\cdot\Theta_{lm}(\theta) \Bigr) \\ &= \gamma_{l,m+1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}\cdot \dv{(\cos\theta)}\Bigl( \sin^{m+1}\theta\cdot\Theta_{l,m+1}(\theta) \Bigr) \\ &= \gamma_{l,m+1}\gamma_{l,m+2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}\cdot \dv[2]{(\cos\theta)}\Bigl( \sin^{m+2}\theta\cdot\Theta_{l,m+2}(\theta) \Bigr) \\ &= \;\cdots \\ &= (\gamma_{l,m+1}\gamma_{l,m+2}\cdots\gamma_{ll}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}\cdot \dv[l-m]{(\cos\theta)}\Bigl( \sin^{l}\theta\cdot\Theta_{ll}(\theta) \Bigr) \end{align*} $$ $\Theta_{ll}(\theta)$ に式\eqref{eq:Theta_ll}を代入すると $$ \begin{align*} Y_{lm}(\theta,\phi) &= (\gamma_{l,m+1}\gamma_{l,m+2}\cdots\gamma_{ll}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}\cdot \dv[l-m]{(\cos\theta)}\left(\frac{1}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}}\sin^{2l}\theta \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\em^{im\phi} \cdot (\gamma_{l,m+1}\gamma_{l,m+2}\cdots\gamma_{ll})\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}} \cdot \frac{1}{2^ll!}\frac{1}{\sin^m\theta}\dv[l-m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \end{align*} $$ 係数部分を整理する。 $$ \begin{align*} & (\gamma_{l,m+1}\gamma_{l,m+2}\cdots\gamma_{ll})\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(l+m+1)(l-m)}}\cdot\frac{1}{\sqrt{(l+m+2)(l-m-1)}}\cdots\frac{1}{\sqrt{2l\cdot1}}\cdot\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}}\cdot\sqrt{\frac{(2l+1)!}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}} \end{align*} $$

(A) の $P_l^m(\cos\theta)$ に、Rodriguesの公式\eqref{eq:rodrigues}を適用する。 $$ \begin{align*} P_l^m(\cos\theta) &= \frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-\cos^2\theta)^\frac{m}{2}\dv[l+m]{(\cos\theta)}(\cos^2\theta-1)^l \\ &= (-1)^{l+m}\frac{1}{2^ll!}\sin^m\theta\dv[l+m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \end{align*} $$ よって (A) は (C) に一致する。

公式\eqref{eq:rodrigues}, \eqref{eq:Legendre_-m}より $$ \begin{align*} P_l^m(x) &= (-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}P_l^{-m}(x) \\ &= (-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!} \cdot \frac{(-1)^{-m}}{2^ll!}(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\dv[l-m]{x}(x^2-1)^l \end{align*} $$ したがって $$ \begin{align*} \sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta) &= \sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{1}{2^ll!}(1-\cos^2\theta)^{-\frac{m}{2}}\dv[l-m]{(\cos\theta)}(\cos^2\theta-1)^l \\ &= (-1)^l\sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\frac{1}{2^ll!}\frac{1}{\sin^m\theta}\dv[l-m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \end{align*} $$ 右辺先頭の $(-1)^l$ が余分に掛かるため、(A) は $(-1)^l\times$ (B) に一致する。

$m\geq0$ のとき、単に絶対値を外せば (D) は (A) に一致する。
$m<0$ のとき、公式\eqref{eq:Legendre_-m}より $$ \begin{align*} (-1)^\frac{|m|-m}{2}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta) &= (-1)^{-m}\sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}P_l^{-m}(\cos\theta) \\ &= (-1)^m\sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}} \cdot (-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta) \\ &= \sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta) \end{align*} $$ となるので、(D) は (A) に一致する。

$m\geq0$ のとき、単に絶対値を外せば (E) は (B) に一致する。
$m<0$ のとき、 $$ \begin{align*} & (-1)^\frac{|m|-m}{2}\sqrt{\frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!}}\frac{1}{\sin^{|m|}\theta}\dv[l-|m|]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \\ =&\; (-1)^{-m}\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\frac{1}{\sin^{-m}\theta}\dv[l+m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \\ =&\; (-1)^l\cdot (-1)^{l+m}\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\sin^m\theta\dv[l+m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \end{align*} $$ となるので、(E) は $(-1)^l\times$ (C) に一致する。

$m\geq0$ のとき、単に絶対値を外して $$ (-1)^\frac{|m|+m}{2} = (-1)^m = (-1)^l \cdot (-1)^{l+m} $$ に注意すれば、 (F) は $(-1)^l\times$ (C) に一致する。
$m<0$ のとき、 $$ \begin{align*} & (-1)^\frac{|m|+m}{2}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\sin^{|m|}\theta\dv[l+|m|]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \\ =&\; \sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\sin^{-m}\theta\dv[l-m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \\ =&\; \sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\frac{1}{\sin^m\theta}\dv[l-m]{(\cos\theta)}\sin^{2l}\theta \end{align*} $$ となるので、(F) は (B) に一致する。