ガンマ行列

まず反交換と2乗して1になることを示す。$$ (\gamma^0)^2=\beta^2=1 $$ 次に $$ \begin{align*} 0 &= \gamma^0\gamma^i+\gamma^i\gamma^0 \\ &= \beta\cdot\beta\alpha_i + \beta\alpha_i\cdot\beta \\ &= \beta\cdot(\beta\alpha_i + \alpha_i\beta) \end{align*} $$ 左から $\beta$ を掛けると $$ 0 = \beta^2\cdot(\beta\alpha_i + \alpha_i\beta) = 1\cdot\{\beta,\,\alpha_i\} $$ $$ \therefore\;\; \{\beta,\,\alpha_i\}=0 $$ 以上を用いて $$ \begin{align*} -2\delta^{ij} &= \gamma^i\gamma^j+\gamma^j\gamma^i \\ &= \beta\alpha_i\cdot\beta\alpha_j + \beta\alpha_j\cdot\beta\alpha_i \\ &= -\beta^2\cdot\alpha_i\alpha_j -\beta^2\cdot\alpha_j\alpha_i \\ &= -1\cdot\{\alpha_i,\,\alpha_j\} \end{align*} $$ すなわち $$ (\alpha_i)^2=1 \;,\;\; \alpha_i\alpha_j=-\alpha_j\alpha_i \quad(i\neq j) $$

続いてエルミート性を示す。
$\gamma^{0\dagger}=\gamma^0$ より $$\beta^\dagger=\beta$$ $\gamma^{i\dagger}=\gamma^0\gamma^i\gamma^0=-\gamma^i$ の左辺と右辺はそれぞれ $$ \begin{align*} \gamma^{i\dagger} &= (\beta\alpha_i)^\dagger \\ &= (-\alpha_i\beta)^\dagger \\ &= -\beta^\dagger\alpha_i^\dagger \\ &= -\beta\alpha_i^\dagger \end{align*} $$ $$ -\gamma^i = -\beta\alpha_i $$ となるので、左から $-\beta$ を掛けて $\beta^2=1$ を適用すると $$ \alpha_i^\dagger=\alpha_i $$

ガンマ行列の積で作られる16個の基底は $$ \Gamma = i^m\beta^{n_0}\,\alpha_1^{n_1}\,\alpha_2^{n_2}\,\alpha_3^{n_3} \quad(m=0\sim 3,\,n_0,n_1,n_2,n_3=0\;\text{or}\;1) $$ という形で表現される。

ここに行列式の公式：$\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}\,A\cdot\mathrm{det}\,B$ を適用すると $$ \begin{align*} \mathrm{det}\,\Gamma &= \mathrm{det}(i^mI_4)(\mathrm{det}\,\beta)^{n_0}(\mathrm{det}\,\alpha_1)^{n_1}(\mathrm{det}\,\alpha_2)^{n_2}(\mathrm{det}\,\alpha_3)^{n_3} \\ &= i^{4m}\cdot 1^{n_0}\cdot 1^{n_1}\cdot 1^{n_2}\cdot 1^{n_3} \\ &= 1 \end{align*} $$ が示される。行列式の中の係数は $$ \mathrm{det}(iA)=\mathrm{det}\left( iI_4\cdot A\right) =\mathrm{det}\pmatrix{i&0&0&0 \\ 0&i&0&0 \\ 0&0&i&0 \\ 0&0&0&i}\cdot \mathrm{det}\,A = i^4\mathrm{det}\,A $$ に気を付けること。

(i) $\beta, \alpha_i$ を含まないとき ($I$) $$ \mathrm{Tr}(I)=\mathrm{Tr}\pmatrix{1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1}=4 $$

(ii) $\beta, \alpha_i$ を1つ含むとき ($\gamma^0,\sigma^{0i}$) $$ \mathrm{Tr}(\beta)=\mathrm{Tr}(\alpha_i)=0 $$

(iii) $\beta, \alpha_i$ を2つ含むとき ($\gamma^i,\sigma^{ij}$) $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2) &= \mathrm{Tr}(\alpha_2\alpha_1) \\ &= -\mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2) \end{align*} $$ $$ \therefore\;\; \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2)=0 $$ 1つ目の等号ではトレースの巡回性、2つ目の等号では反交換を用いた。

(iv) $\beta, \alpha_i$ を3つ含むとき ($\gamma^5,\gamma^5\gamma^i$) $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2\alpha_3) &= \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta\beta) \\ &= \mathrm{Tr}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta) \\ &= (-1)^3\cdot\mathrm{Tr}(\beta\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3) \\ &= -\mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2\alpha_3) \\ \end{align*} $$ $$ \therefore\;\; \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)=0 $$ $\beta^2=1$ を挿入し、2つ目の等号ではトレースの巡回性、3つ目の等号では反交換を3回用いた。

(v) $\beta, \alpha_i$ を4つ含むとき ($\gamma^5\gamma^0$) $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3) &= \mathrm{Tr}(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta) \\ &= (-1)^3\cdot\mathrm{Tr}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3) \\ &= -\mathrm{Tr}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3) \\ \end{align*} $$ $$ \therefore\;\; \mathrm{Tr}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3)=0 $$ 1つ目の等号ではトレースの巡回性、2つ目の等号では反交換を3回用いた。

$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ より $$ \begin{align*} (\gamma^5)^{-1} &= i^{-1}\cdot (\gamma^3)^{-1}(\gamma^2)^{-1}(\gamma^1)^{-1}(\gamma^0)^{-1} \\ &= -i\cdot \gamma^0\gamma^3\gamma^0\cdot \gamma^0\gamma^2\gamma^0\cdot \gamma^0\gamma^1\gamma^0\cdot \gamma^0\gamma^0\gamma^0 \\ &= -i\gamma^0\gamma^3\gamma^2\gamma^1 \\ &= -(-1)^3\cdot(i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= \gamma^5 \end{align*} $$ 3行目へは $(\gamma^0)^2=1$、4行目へは反交換を3回用いた。

$$ \begin{align*} \mathrm{Tr}\,\gamma^5 &= i\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= i\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0) \\ &= i(-1)^3\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= -\mathrm{Tr}\,\gamma^5 \end{align*} $$ $$ \therefore\;\; \mathrm{Tr}\,\gamma^5=0 $$ 2行目へはトレースの巡回性、3行目へは反交換を3回用いた。

$$ \begin{align*} \{\gamma^\mu,\,\gamma^5\} &= i\gamma^\mu\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 + i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^\mu \\ &= i\gamma^\mu\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 + (-1)^3\cdot i\gamma^\mu\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \\ &= 0 \end{align*} $$ 第2項は反交換を3回用いることで、$\gamma^\mu$ を一番右から一番左に移動できる。例えば $\mu=1$ のとき $$ \begin{align*} \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\cdot\gamma^1 &= -\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^1\gamma^3 \\ &= +\gamma^0\gamma^1\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \\ &= -\gamma^1\cdot\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \end{align*} $$ とすればよい。

$$ \begin{align*} \mathrm{Tr}\,\gamma^5 &= i\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= i\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0) \\ &= i(-1)^3\cdot\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= -\mathrm{Tr}\,\gamma^5 \end{align*} $$ $$ \therefore\;\; \mathrm{Tr}\,\gamma^5=0 $$ 2行目へはトレースの巡回性、3行目へは反交換を3回用いた。

$$ \begin{align*} \gamma_\mu \gamma^\mu &= \eta_{\mu\nu}\gamma^\nu\gamma^\mu \\ &= \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\gamma^\nu\gamma^\mu+\gamma^\mu\gamma^\nu) \\ &= \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\cdot2\eta^{\nu\mu} \\ &= \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\mu} \\ &=\delta_\mu^\mu \\ &= 4 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\mu &= (-\gamma^\alpha\gamma_\mu+2\eta_\mu^{\ \alpha})\gamma^\mu \\ &= -\gamma^\alpha(\gamma_\mu\gamma^\mu) +2\eta_\mu^{\ \alpha}\gamma^\mu \\ &= -\gamma^\alpha\cdot4 +2\gamma^\alpha \\ &= -2\gamma^\alpha \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\mu &= (-\gamma^\alpha\gamma_\mu+2\eta_\mu^{\ \alpha}) \gamma^\beta\gamma^\mu \\ &= -\gamma^\alpha (\gamma_\mu\gamma^\beta\gamma^\mu) +2\gamma^\beta\gamma^\alpha \\ &= -\gamma^\alpha(-2\gamma^\beta) +2\gamma^\beta\gamma^\alpha \\ &= 2\gamma^\alpha\gamma^\beta +2\gamma^\beta\gamma^\alpha \\ &= 2\{\gamma^\alpha,\,\gamma^\beta\} \\ &= 4\eta^{\alpha\beta} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\mu &= (-\gamma^\alpha\gamma_\mu+2\eta_\mu^{\ \alpha}) \gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\mu \\ &= -\gamma^\alpha (\gamma_\mu\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\mu) +2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\alpha \\ &= -\gamma^\alpha (4\eta^{\beta\delta}) +2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\alpha \\ &= -4\eta^{\beta\delta}\gamma^\alpha +2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\alpha \\ &= -4\eta^{\beta\delta}\gamma^\alpha +2(-\gamma^\delta\gamma^\beta+2\eta^{\beta\delta})\gamma^\alpha \\ &= -4\eta^{\beta\delta}\gamma^\alpha -2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha +4\eta^{\beta\delta}\gamma^\alpha \\ &= -2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\epsilon\gamma^\mu &= (-\gamma^\alpha\gamma_\mu+2\eta_\mu^{\ \alpha}) \gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\epsilon\gamma^\mu \\ &= -\gamma^\alpha (\gamma_\mu\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\epsilon\gamma^\mu) +2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\epsilon\gamma^\alpha \\ &= 2\gamma^\alpha\gamma^\epsilon\gamma^\delta\gamma^\beta +2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\epsilon\gamma^\alpha \\ &= 2(-\gamma^\epsilon\gamma^\alpha+2\eta^{\alpha\epsilon})\gamma^\delta\gamma^\beta + 2\gamma^\beta\gamma^\delta(-\gamma^\alpha\gamma^\epsilon+2\eta^{\epsilon\alpha}) \\ &= -2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha\gamma^\delta\gamma^\beta +4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\delta\gamma^\beta -2\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\alpha\gamma^\epsilon +4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\beta\gamma^\delta \\ &= -2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha(-\gamma^\beta\gamma^\delta+2\eta^{\delta\beta})+4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\delta\gamma^\beta -2(-\gamma^\delta\gamma^\beta+2\eta^{\beta\delta})\gamma^\alpha\gamma^\epsilon+4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\beta\gamma^\delta \\ &= 2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta-4\eta^{\delta\beta}\gamma^\epsilon\gamma^\alpha+4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\delta\gamma^\beta \\ & \qquad +2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\epsilon-4\eta^{\beta\delta}\gamma^\alpha\gamma^\epsilon+4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\beta\gamma^\delta \\ &= 2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta-4\eta^{\delta\beta}\gamma^\epsilon\gamma^\alpha+4\eta^{\alpha\epsilon}\gamma^\delta\gamma^\beta \\ & \qquad +2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\epsilon-4\eta^{\beta\delta}(-\gamma^\epsilon\gamma^\alpha+2\eta^{\alpha\epsilon})+4\eta^{\alpha\epsilon}(-\gamma^\delta\gamma^\beta+2\eta^{\beta\delta}) \\ &= 2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta +2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\epsilon -8\eta^{\beta\delta}\eta^{\alpha\epsilon}+8\eta^{\alpha\epsilon}\eta^{\beta\delta} \\ &= 2\gamma^\epsilon\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta +2\gamma^\delta\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\epsilon \end{align*} $$

$(\gamma^5)^2=1$ を挿入する。 $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\,\underbrace{\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta}_{\text{奇数個}}\,) &= \mathrm{Tr}(\,\underbrace{\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta}_{\text{奇数個}}\,\gamma^5\gamma^5) \\ &= \mathrm{Tr}(\gamma^5\,\underbrace{\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta}_{\text{奇数個}}\,\gamma^5) \\ &= \mathrm{Tr}(-\gamma^5\gamma^5\,\underbrace{\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta}_{\text{奇数個}}\,) \\ &= -\mathrm{Tr}(\,\underbrace{\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta}_{\text{奇数個}}\,) \end{align*} $$ 2行目へはトレースの巡回性を用いた。3行目へは式\eqref{eq:gamma5_anticommute}の反交換関係 $\gamma^\mu\gamma^5=-\gamma^5\gamma^\mu$ を奇数回適用した。
移項して $\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\cdots\gamma^\alpha\gamma^\beta)=0$ を得る。

$\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$ より $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu) &= \mathrm{Tr}(-\gamma^\nu\gamma^\mu+2\eta^{\mu\nu}) \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)+2\mathrm{Tr}(\eta^{\mu\nu}) \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)+2\cdot 4\eta^{\mu\nu} \end{align*} $$ 2行目へはトレースの加法性および巡回性を用いた。
スピノルの添字についてのトレースなので、4次元単位行列 $I_4$ が省略されており $$ \mathrm{Tr}(\eta^{\mu\nu})=\eta^{\mu\nu}\mathrm{Tr}(I_4)=4\eta^{\mu\nu} $$ と変形することに注意する。
最後に移項して $\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}$ を得る。

$\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$ と問7-2を繰り返し用いる。 $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) &= \mathrm{Tr}((-\gamma^\nu\gamma^\mu+2\eta^{\mu\nu})\gamma^\rho\gamma^\sigma) \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\sigma) +2\eta^{\mu\nu}\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\sigma) \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\sigma) + 2\eta^{\mu\nu}\cdot4\eta^{\rho\sigma} \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\nu(-\gamma^\rho\gamma^\mu+2\eta^{\mu\rho})\gamma^\sigma) +8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \\ &= \mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\sigma) -2\eta^{\mu\rho}\mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\sigma) + 8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \\ &= \mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\sigma) -8\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} +8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \\ &= \mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\rho(-\gamma^\sigma\gamma^\mu+2\eta^{\mu\sigma})) -8\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} + 8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^\mu) +2\eta^{\mu\sigma}\mathrm{Tr}(\gamma^\nu\gamma^\rho) -8\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} +8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) +8\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho} -8\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} +8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} \end{align*} $$ 最終行でトレースの巡回性を用いた。
移項して $$ \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) =4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho}) $$ を得る。

定義 $\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ を代入すれば、トレースの中身は奇数個のガンマ行列（$\gamma^\mu$）の積なので、問7-1の結果から0になる。

$\mu=\nu$ のときは $(\gamma^\mu)^2=\eta^{\mu\mu}=\pm1$ より、問7-1で証明済みの $\mathrm{Tr}(\gamma^5)=0$ に帰着する。
$\mu\neq\nu$ のとき、$\mu$ とも $\nu$ とも等しくない $\rho$ を用意して、$\eta^{\rho\rho}(\gamma^\rho)^2=1$ を挿入する。
式\eqref{eq:gamma_anticommute},\eqref{eq:gamma5_anticommute}より、$\gamma^\mu,\gamma^\nu,\gamma^\rho,\gamma^5$ が全て互いに反交換することを利用して $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) &= \eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) \\ &= -\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^5\gamma^\nu) \\ &= +\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\rho\gamma^5\gamma^\mu\gamma^\nu) \\ &= -\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^5\cdot\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu) \\ &= -\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu\cdot\gamma^\rho\gamma^5) \\ &= +\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^5) \\ &= -\eta^{\rho\rho}\,\mathrm{Tr}(\gamma^\rho\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) \\ &= -\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) \\ \end{align*} $$ 5行目へはトレースの巡回性を用いて $\gamma^\rho\gamma^5$ を末尾に移動した。
移項して $\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0$ を得る。

添字 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ に重複がある場合、反交換して $(\gamma^\mu)^2=\pm1$ を適用することにより、次数の低い公式 $$ \mathrm{Tr}(\gamma^5) = \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^5) = \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = \mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^5) =0 $$ のいずれかに帰着できるので0となる。例えば $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^0\gamma^5) &= -\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^0\gamma^2\gamma^5) \\ &= +\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^5) \\ &= \mathrm{Tr}(\gamma^1\gamma^2\gamma^5) \\ &= 0 \end{align*} $$

$\mu,\nu,\rho,\sigma$ に重複がない場合、$\gamma^\mu,\gamma^\nu,\gamma^\rho,\gamma^\sigma$ は互いに反交換するため、トレースも添字 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ について完全反対称となる。

以上の考察から、$\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5)$ は完全反対称テンソル $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ に比例する。
比例係数を決めるため、具体的に計算する。 $$ \begin{align*} \mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^5) &= i\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= (-1)^3\cdot i\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^1\gamma^2\gamma^3) \\ &= (-1)^5\cdot i\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^2\gamma^3) \\ &= (-1)^6\cdot i\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^0\cdot \gamma^1\gamma^1\cdot \gamma^2\gamma^2\cdot \gamma^3\gamma^3) \\ &= i\mathrm{Tr}(I_4) \\ &= 4i \end{align*} $$ $\varepsilon^{0123}=-1$ と合わせて、$\mathrm{Tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^5)=-4i\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ を得る。