概要
ハミルトニアンが以下で与えられる、1次元調和振動子を考えます。 $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2x^2}{2}$$
エネルギー準位の計算では、以下の交換関係を満たす生成(消滅)演算子 $a^\dagger\;(a)$ を用います。 $$ [a,\, a^\dagger]=1 $$
1次元調和振動子のハミルトニアンは $$ H = \hbar\omega\left( N+\frac{1}{2} \right) $$ と書けるので、エネルギー固有値は $$ E_n = \hbar\omega\left( n+\frac{1}{2} \right) \;\;(n\in\mathbb{Z}_{\geq0}) $$ となります。
対応するエネルギー固有状態は $$ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger\right)^n\ket{0} $$ で表されます。特に基底状態 $\ket{0}$ を座標表示すると、その波動関数は正規分布となります。
解説
生成消滅演算子
演算子 $a$ とそのエルミート共役が、 交換関係 $$ \begin{equation} [a,\, a^\dagger]=1 \label{eq:a_commute} \end{equation} $$ を満たすとします。$a,\,a^\dagger$ ともに無次元量です。
数演算子を $N=a^\dagger a$ で定義して、$N$ の固有値 $n$ の規格化された固有ベクトルを $\ket{n}$ で表すことにします。 $$ N\ket{n} = n\ket{n} $$
$(a^\dagger a)^\dagger = a^\dagger(a^\dagger)^\dagger = a^\dagger a$ なので、 $N$ はエルミート演算子です。
このとき、以下の性質が順に示されます。
固有値 $n$ は $n\geq0$ を満たす
$$ \braket{n|N|n} = n\braket{n|n} = n $$ 一方で $$ \braket{n|N|n} = \braket{n|a^\dagger a|n} = \Bigl\|a\ket{n}\Bigr\|^2 \geq 0 $$ よって $n\geq0$ である。
数演算子 $N$ について $$[N,\,a] = -a \;,\;\; [N,\,a^\dagger] = a^\dagger$$
交換関係\eqref{eq:a_commute}により $$ [N,\,a] = [a^\dagger a,\,a] = [a^\dagger,\,a]a = -a $$ $$ [N,\,a^\dagger] = [a^\dagger a,\,a^\dagger] = a^\dagger[a,\,a^\dagger] = a^\dagger $$
$$\begin{align} a\ket{n} &= \sqrt{n}\ket{n-1} \label{eq:aket} \\ a^\dagger\ket{n} &= \sqrt{n+1}\ket{n+1} \label{eq:adaggerket}\end{align}$$
$a$ に関しては $$ \begin{align*} Na\ket{n} &= (aN-a)\ket{n} \\ &= (an-a)\ket{n} \\ &= (n-1)\cdot a\ket{n} \\ \end{align*} $$ $a\ket{n}=c_-\ket{n-1}$ とおいて、係数 $c_-$ を求める。任意の位相因子は $c_->0$ に選ぶ。 $$ \braket{n|a^\dagger a|n} = c_-^2\braket{n-1|n-1} = c_-^2 $$ $$ \braket{n|a^\dagger a|n} = \braket{n|N|n} = n $$ 両者を比較して、$a\ket{n} = \sqrt{n}\ket{n-1}$ が得られる。
$a^\dagger$ に関しては $$ \begin{align*} Na^\dagger\ket{n} &= (a^\dagger N+a^\dagger)\ket{n} \\ &= (a^\dagger n+a^\dagger)\ket{n} \\ &= (n+1)\cdot a^\dagger\ket{n} \\ \end{align*} $$ $a^\dagger\ket{n}=c_+\ket{n+1}$ とおいて、係数 $c_+$ を求める。任意の位相因子は $c_+>0$ に選ぶ。 $$ \braket{n|aa^\dagger|n} = c_+^2\braket{n+1|n+1} = c_+^2 $$ $$ \braket{n|aa^\dagger|n} = \braket{n|(a^\dagger a+1)|n} = \braket{n|(N+1)|n} = n+1 $$ 両者を比較して、$a^\dagger\ket{n} = \sqrt{n+1}\ket{n+1}$ が得られる。
この結果から、$a$ は固有値を1下げる消滅演算子、$a^\dagger$ は固有値を1上げる生成演算子であることが言えます。
文献によっては「昇降演算子」「はしご演算子」と書かれることもあります。英語では annihilation operator, creation operator です。
固有値を上げ下げするだけで「生成」「消滅」とは大袈裟ですが、場の量子論においては、文字通り粒子を生成・消滅させる演算子として機能します。
$n$ は0以上の整数に限られる。
$\ket{n}$ に連続して消滅演算子 $a$ を作用させることで、固有値が1小さい固有ケットの系列を際限なく作ることができる。
$n\geq0$ と矛盾しないためには、系列に $a\ket{0}=0$ となる固有値0を含んでいればよい。 $\ket{0}$ に生成演算子 $a^\dagger$ を作用させることで、任意の $n>0$ の固有ケットが得られる。
規格化 $\braket{n|n}=1$ を課すと $$ \begin{equation} \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger\right)^n\ket{0} \label{eq:nket} \end{equation} $$
式\eqref{eq:adaggerket}より $$ \begin{align*} \ket{n} &= \frac{1}{\sqrt{n}}a^\dagger\ket{n-1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{1}{\sqrt{n-1}}(a^\dagger)^2\ket{n-2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{1}{\sqrt{n-1}}\cdots\frac{1}{\sqrt{1}}(a^\dagger)^n\ket{0} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger\right)^n\ket{0} \end{align*} $$
参考までに、$\{\ket{n}\}_{n=0,1,2,\cdots}$ を基底として演算子を行列表示すると、以下のようになります。
$[a,\,a^\dagger]=1$ 等の性質は、行列の積の計算でも確かめることができます。
$$ N = \left( \begin{array}{cccccc} 0 & & & & & \mathrm{\Large{O}} \\ & 1 & & & & \\ & & 2 & & & \\ & & & 3 & & \\ & & & & 4 & \\ \mathrm{\Large{O}} & & & & & \ddots \end{array} \right) \qquad \begin{array}{c} \leftarrow\ket{0} \\ \leftarrow\ket{1} \\ \leftarrow\ket{2} \\ \leftarrow\ket{3} \\ \leftarrow\ket{4} \\ \vdots \end{array} $$ $$ a=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \\ & & 0 & \sqrt{3} & 0 & \\ & & & 0 & \sqrt{4} & \\ \mathrm{\Large{O}} & & & & \ddots & \ddots \end{array} \right) $$ $$ a^\dagger=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & & & & \mathrm{\Large{O}} & \\ 1 & 0 & & & & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & & & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & & \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \ddots & \\ \vdots & & & & \ddots & \end{array} \right) $$
$\ket{n}$ は $N$ の固有ケットなので $$ \braket{m|N|n} = \braket{m|n|n} = n\delta_{m,n} $$
式\eqref{eq:nket}より $$ \begin{align*} \braket{m|a|n} &= \frac{1}{\sqrt{m!}}\braket{0|a^m\cdot a|n} \\ &= \sqrt{m+1}\braket{m+1|n} \\ &= \sqrt{n}\delta_{m+1,n} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} \braket{m|a^\dagger|n} &= \braket{0|a^\dagger\cdot \frac{1}{\sqrt{n!}}{a^\dagger}^n|0} \\ &= \sqrt{n+1}\braket{m|n+1} \\ &= \sqrt{m}\delta_{m,n+1} \end{align*} $$
調和振動子のエネルギー
生成消滅演算子を用いて、1次元調和振動子のエネルギー準位を求めていきます。ハミルトニアンは $$ \begin{equation} H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2x^2}{2} \label{eq:Hxp} \end{equation}$$ です。量子論なので、$x, p$ は演算子です。ハットは付けません。
古典論で $x, p$ は交換するただの数（c-数）です。古典論でのみ成り立つ因数分解 $$ \begin{align*} H &= \frac{m\omega^2}{2}\left(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}\right) \\ &= \hbar\omega \frac{m\omega}{2\hbar}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right) \end{align*} $$ に着想を得て、演算子 $a,\,a^\dagger$ を以下のように定義します。 $$ \begin{align} a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right) \label{eq:a_xp}\\ a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right) \label{eq:adagger_xp}\end{align} $$ すると、以下で示すように $a,\,a^\dagger$ は式\eqref{eq:a_commute}の交換関係を満たしているため、生成消滅演算子の諸性質が成り立つことが言えます。
演算子 $x,\,p$ が正準交換関係 $[x,\,p]=i\hbar$ を満たすことから、式\eqref{eq:a_xp}, \eqref{eq:adagger_xp}で定義された演算子 $a,\,a^\dagger$ は $[a,\,a^\dagger]=1$ を満たす。
$$ \begin{align*} [a,\,a^\dagger] &= \frac{m\omega}{2\hbar}\left[ x+\frac{ip}{m\omega},\, x-\frac{ip}{m\omega} \right] \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}\cdot\frac{i}{m\omega}\left( -[x,\, p] + [p,\, x] \right) \\ &= \frac{1}{2i\hbar}\cdot 2[x,\, p] \\ &= \frac{1}{i\hbar}\cdot i\hbar \\ &= 1 \end{align*} $$
$x,p$ について解くと $$ \begin{align} x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger) \label{eq:x_aa} \\ p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(a-a^\dagger) \label{eq:p_aa} \end{align} $$ となります。この表式から、$x,p$ はエルミート演算子であることが分かります。
$x,p$ が交換しない演算子であることに注意して、ハミルトニアン\eqref{eq:Hxp}を変数変換すると $$ \begin{equation} H = \hbar\omega\left( N+\frac{1}{2} \right) \label{eq:Hn} \end{equation} $$
式\eqref{eq:x_aa}, \eqref{eq:p_aa}を代入して $$ \begin{align*} H &= \frac{1}{2m}\cdot\left[-i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(a-a^\dagger)\right]^2 + \frac{m\omega^2}{2}\cdot\left[\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)\right]^2 \\ &= -\frac{\hbar\omega}{4}\left( a^2+(a^\dagger)^2-a^\dagger a-aa^\dagger \right) + \frac{\hbar\omega}{4}\left( a^2+(a^\dagger)^2+a^\dagger a+aa^\dagger \right) \\ &= \frac{\hbar\omega}{2}\left( a^\dagger a + aa^\dagger \right) \\ &= \frac{\hbar\omega}{2}\left( 2a^\dagger a + 1 \right) \\ &= \hbar\omega\left(N+\frac{1}{2}\right) \end{align*} $$
量子論では $x, p$ が交換しないことの結果として、$\tfrac{1}{2}$ の定数項が出現します。位置と運動量の不確定性に由来する零点振動として解釈されます。
以上から、数演算子の固有状態 $\ket{n}$ はエネルギー固有状態であり、エネルギー固有値は $$ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \;\;(n\in\mathbb{Z}_{\geq0}) $$ で与えられます。
基底状態の波動関数
$x$ を対角的にする座標表示に移行します。演算子 $x, p$ は座標表示において $$ \bra{x}x = x\bra{x} \;,\;\; \bra{x}p = -i\hbar\pdv{x}\bra{x} $$ となります。
$a\ket{0}=0$ に注目することで、基底状態の波動関数 $\psi_0(x) = \braket{x|0}$ は容易に求めることができます。以下で示すように、解は正規分布（Gauss関数）になります。
$$ \begin{equation} \psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right) \label{eq:psi0} \end{equation} $$
式\eqref{eq:a_xp}の $x,p$ を座標表示に直すと $$ \bra{x}a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\pdv{x} \right)\bra{x} $$ となるので、 $$ \bra{x}\cdot a\ket{0} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\pdv{x} \right)\braket{x|0} = 0 $$ $$ \therefore \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\pdv{x} \right)\psi_0(x) = 0 $$ 微分方程式の解は $$ \psi_0(x) = N_0\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right) $$ である。
係数 $N_0$ は、規格化条件 $$ \braket{0|0} = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \braket{0|x}\braket{x|0} = 1 $$ $$ \therefore \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x |\psi_0(x)|^2 = 1 $$ を課すことで決まる。任意の位相因子は $N_0>0$ に選ぶ。
Gauss積分の公式 $$ \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \em^{-\alpha x^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} \quad(\alpha>0) $$ で $\alpha = m\omega/2\hbar$ に対応させて $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x |\psi_0(x)|^2 &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x N_0^2 \exp\left(-\frac{m\omega}{\hbar}x^2\right) \\ &= \sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}}N_0^2 \\ &= 1 \end{align*} $$ したがって $$ N_0^2 = \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} $$ とすればよい。
高次のエネルギー固有状態の厳密解は、Hermite多項式 $H_n(y)$ を用いて以下のように表されます。$n=0$ のとき $H_0(y)=1$ より、式\eqref{eq:psi0}と一致します。 $$ \psi_n(y) = N_nH_n(y)\em^{-y^2/2} \;,\;\; y = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x $$ $$ N_n = \frac{1}{\sqrt{2^nn!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}} $$
ハミルトニアン\eqref{eq:Hxp}を座標表示にすることで、エネルギー準位 $E_n$ が量子化されることも含めて導出できるのですが、長くなるので本記事では扱いません。
参考文献
- ディラック著, 朝永振一郎ほか訳『量子力学 原書第4版 改訂版』岩波書店, 2017.
- 生成演算子と消滅演算子 – EMANの量子力学