概要
スピン演算子 $\bm{J}=(J_1, J_2, J_3)$ が交換関係 $$ [J_i,\, J_j] = i\varepsilon_{ijk}J_k $$ を満たすことを出発点とします。$\varepsilon_{ijk}$ は完全反対称テンソルです。
同時対角化可能な演算子として、$\bm{J}^2=J_1^2+J_2^2+J_3$ と $J_3$ を選ぶことができます。$$ \bm{J}^2\ket{j,m} = j(j+1)\ket{j,m} \quad,\quad J_3\ket{j,m} = m\ket{j,m} $$という固有状態の基底をとると、 $$ j = 0,\,\frac{1}{2},\,1,\,\frac{3}{2},\,2,\, \cdots $$ $$ m = -j,\,-j+1,\, \cdots ,\,j-1,\,j $$ の値に限定されます。
量子力学における軌道角運動量演算子を $\hbar\bm{L}=\bm{x}\times\bm{p}$ と定義すると、$\bm{L}$ はスピン演算子の交換関係を満たします。ただし空間の一価性から、$j$ は整数に限られます。量子数 $j$ は方位量子数、 $m$ は磁気量子数と呼ばれているものです。
解説
基本的な交換関係
交換関係 $$ \begin{equation} [J_i,\, J_j] = i\varepsilon_{ijk}J_k \label{eq:j_commute} \end{equation} $$ を満たすエルミート演算子 $\bm{J}=(J_1, J_2, J_3)$ を、スピン演算子と定義します。
ここで $\varepsilon_{ijk}$ は完全反対称テンソル $(\varepsilon_{123}=1)$ です。3次元空間のベクトルのように書いてありますが、必ずしもx,y,z軸に対応付くものではありません。
また、縮約の記法を採用し、重複する添字は1,2,3の和をとるものとします。
スピンの大きさの演算子を $\bm{J}^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ で定義します。群論の言葉でCasimir演算子と呼ばれている物です。
$$ \begin{equation} [\bm{J}^2,\, J_i] = 0 \label{eq:j2_ji_commute} \end{equation}$$
$$ \begin{align*} [\bm{J}^2,\, J_i] &= [J_jJ_j,\, J_i] \\ &= J_j[J_j,\, J_i] + [J_j,\, J_i]J_j \\ &= J_j i\varepsilon_{jik}J_k + i\varepsilon_{jik}J_kJ_j \\ &= i\varepsilon_{jik}(J_jJ_k +J_kJ_j)\\ &= 0 \end{align*} $$ 最終行への変形は、$(J_jJ_k +J_kJ_j)$ が $j,k$ に関して対称であるため、反対称テンソルと縮約して0になることを用いた。
続いて $J_\pm=J_1\pm iJ_2$ という演算子を定義すると、以下の性質が順に示されます。
$J_i$ は本来 $i=1,2,3$ について等価ですが、ここから $J_3$ を特別扱いする基底の選び方になります。
$$[J_+,\, J_-] = 2J_3$$
式\eqref{eq:j_commute}より $$ \begin{align*} [J_+,\, J_-] &= [J_1+iJ_2,\, J_1-iJ_2] \\ &= [J_1,\, -iJ_2] + [iJ_2,\, J_1] \\ &= -2i[J_1,\, J_2] \\ &= 2J_3 \end{align*} $$
$$ \begin{equation} [J_3,\, J_+] = J_+ \quad,\quad [J_3,\, J_-] = -J_- \label{eq:j3_jpm_commute} \end{equation}$$
式\eqref{eq:j_commute}より $$ \begin{align*} [J_3,\, J_\pm] &= [J_3,\, J_1\pm iJ_2] \\ &= [J_3,\, J_1] \pm i[J_3,\, J_2] \\ &= iJ_2 \pm i\cdot(-i)J_1 \\ &= \pm J_1 +iJ_2 \\ &= \pm(J_1 \pm iJ_2) \\ &= \pm J_\pm \end{align*} $$
$$ \begin{align} J_-J_+ &= \bm{J}^2 -J_3^2-J_3 \label{eq:jmp_j3} \\ J_+J_- &= \bm{J}^2 -J_3^2+J_3 \label{eq:jpm_j3} \end{align}$$
式\eqref{eq:j_commute}より $$ \begin{align*} J_-J_+ &= (J_1-iJ_2)(J_1+iJ_2) \\ &= J_1^2 + J_2^2 + iJ_1J_2-iJ_2J_1 \\ &= J_1^2 + J_2^2 + i[J_1,\, J_2] \\ &= \bm{J}^2 -J_3^2-J_3 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} J_+J_- &= (J_1 + iJ_2)(J_1-iJ_2) \\ &= J_1^2 + J_2^2 -iJ_1J_2 + iJ_2J_1 \\ &= J_1^2 + J_2^2 -i[J_1,\, J_2] \\ &= \bm{J}^2 -J_3^2+J_3 \end{align*} $$
$$ \begin{equation} [\bm{J}^2,\, J_\pm] = 0 \label{eq:j2_jpm_commute} \end{equation}$$
式\eqref{eq:j2_ji_commute}より $$ \begin{align*} [\bm{J}^2,\, J_\pm] &= [\bm{J}^2,\, J_1\pm iJ_2] \\ &= [\bm{J}^2,\, J_1] \pm i[\bm{J}^2,\, J_2] \\ &= 0 \pm i\cdot0 \\ &= 0 \end{align*} $$
昇降演算子
式\eqref{eq:j_commute}, \eqref{eq:j2_ji_commute}より、$\bm{J}^2$ と $J_i$ のうち1成分だけが同時対角化可能であることが分かります。
以降は対角化する成分を $i=3$ に選び、$\bm{J}^2$ と $J_3$ の同時固有状態を $\ket{a,b}$ と表すことにします。 $$ \bm{J}^2\ket{a,b} = a\ket{a,b} \quad,\quad J_3\ket{a,b} = b\ket{a,b} $$ $\bm{J}$ がエルミートという仮定から、$a,b\in\mathbb{R}$ となります。
$$ J_\pm\ket{a,b} \propto \ket{a,b\pm1} $$
式\eqref{eq:j3_jpm_commute}より $$ \begin{align*} J_3(J_\pm\ket{a,b}) &= \Bigl( [J_3,\, J_\pm] + J_\pm J_3 \Bigr)\ket{a,b} \\ &= (\pm J_\pm + bJ_\pm)\ket{a,b} \\ &= (b\pm1)(J_\pm\ket{a,b}) \end{align*} $$
この結果から、
- $J_+$ は $J_3$ の固有値を1上げる生成演算子
- $J_-$ は $J_3$ の固有値を1下げる消滅演算子
であると言えます。$J_\pm$ をまとめて生成消滅演算子、または昇降演算子という言い方をします。
前節で証明した交換関係から、さらに以下の性質が導かれます。
固有値 $b$ には上限と下限が存在する
$\bm{J}^2$ の定義より $$ \begin{align*} \bm{J}^2-J_3^2 &= J_1^2+J_2^2 \\ &= \frac{1}{2}(J_+J_- + J_-J_+) \\ &= \frac{1}{2}(J_+J_+^\dagger + J_+^\dagger J_+) \end{align*} $$ であるから $$ \begin{align*} \braket{a,b|\bm{J}^2-J_3^2|a,b} &= \frac{1}{2}\braket{a,b|J_+J_+^\dagger|a,b} + \frac{1}{2}\braket{a,b|J_+^\dagger J_+|a,b} \\ &= \frac{1}{2}\Bigl\| J_+^\dagger\ket{a,b} \Bigr\|^2 + \frac{1}{2}\Bigl\| J_+\ket{a,b} \Bigr\|^2 \\ & \geq \, 0 \end{align*} $$
一方で $$ \braket{a,b|\bm{J}^2-J_3^2|a,b} = (a-b^2)\braket{a,b|a,b} = a-b^2 $$ なので、少なくとも $a-b^2\geq a\geq0$ が成り立っている。（問3-2で、有限の $a,b$ では等号成立しないことが分かる）
$|b|\leq\sqrt{a}$ より、$b$ には上限と下限が存在する。
固有値 $b$ の上限値を $\subb{b}{max}$ 、下限値を $\subb{b}{min}$ とおきます。
$$ a=\subb{b}{max}(\subb{b}{max}+1) \quad,\quad a=\subb{b}{min}(\subb{b}{min}-1) $$
まず $\subb{b}{max}$ について、式\eqref{eq:jmp_j3}より $$ \begin{align*} J_-(J_+\ket{a,\subb{b}{max}}) &= (\bm{J}^2 -J_3^2-J_3)\ket{a,\subb{b}{max}} \\ &= (a-\subb{b}{max}^2-\subb{b}{max})\ket{a,\subb{b}{max}} \end{align*} $$ $J_+\ket{a,\subb{b}{max}} \propto \ket{a,\subb{b}{max}+1}$ が存在しないためには、$J_+\ket{a,\subb{b}{max}}=0$ でなければならない。
よって、$a-\subb{b}{max}^2-\subb{b}{max}=0$ すなわち $a=\subb{b}{max}(\subb{b}{max}+1)$ となる。
次に $\subb{b}{min}$ について、式\eqref{eq:jpm_j3}より $$ \begin{align*} J_+(J_-\ket{a,\subb{b}{min}}) &= (\bm{J}^2 -J_3^2+J_3)\ket{a,\subb{b}{min}} \\ &= (a-\subb{b}{min}^2+\subb{b}{min})\ket{a,\subb{b}{min}} \end{align*} $$ $J_-\ket{a,\subb{b}{min}} \propto \ket{a,\subb{b}{min}-1}$ が存在しないためには、$J_+\ket{a,\subb{b}{min}}=0$ でなければならない。
よって、$a-\subb{b}{min}^2+\subb{b}{min}=0$ すなわち $a=\subb{b}{min}(\subb{b}{min}-1)$ となる。
$$ b=\frac{n}{2} \quad (n\in\mathbb{Z}) $$ つまり $b$ は整数または半整数に限られる。
$J_+$ を $\ket{a,\subb{b}{min}}$ に有限回作用させて $\ket{a,\subb{b}{max}}$ に到達できるので、$\subb{b}{max}-\subb{b}{min} \in \mathbb{N}$ である。
また、$a=\subb{b}{max}(\subb{b}{max}+1)=\subb{b}{min}(\subb{b}{min}-1)$ より $$ (\subb{b}{max}+\subb{b}{min})(\subb{b}{max}-\subb{b}{min}+1)=0 $$ となる。これが成立するためには、$\subb{b}{max}>\subb{b}{min}$ より $\subb{b}{max}= -\subb{b}{min}$ と決まる。
以上から、$\subb{b}{max},\,\subb{b}{min}$は共に整数か共に半整数でなければならず、$$ b=\frac{n}{2} \;\; (n\in\mathbb{Z}) $$と表せる。
ここで記号を改めて $j=\subb{b}{max},\,m=b$ とおくことにします。
$a=\subb{b}{max}(\subb{b}{max}+1)=j(j+1)$ より、 $$ \bm{J}^2\ket{j,m} = j(j+1)\ket{j,m} \quad,\quad J_3\ket{j,m} = m\ket{j,m} $$ となります。量子数 $j,m$ は $$ j = 0,\,\frac{1}{2},\,1,\,\frac{3}{2},\,2,\, \cdots $$ $$ m = -j,\,-j+1,\, \cdots ,\,j-1,\,j $$ という飛び飛びの値をとります。
正規直交性について考えます。異なる固有値に属する固有ベクトルどうしは直交するので、内積 $\braket{j’,m’|j,m}$ は $j\neq j’$ または $m\neq m’$ ならば自動的に0になります。
規格化条件 $\braket{j,m|j,m}=1$ を課します。
等しい $j$ を持つ状態どうしは、昇降演算子を用いて以下の関係で結ばれています。
$$ \begin{align*} J_+\ket{j,m} &= \sqrt{(j-m)(j+m+1)}\ket{j,m+1} \\ J_-\ket{j,m} &= \sqrt{(j+m)(j-m+1)}\ket{j,m-1} \end{align*} $$
$J_\pm\ket{j,m}=c_\pm\ket{j,m\pm1}$ とおいて、係数 $c_\pm>0$ を求める。任意の位相因子は、慣習に従い正の実数に選ぶことにする。
$$ \begin{align*} \braket{j,m|J_-J_+|j,m} &= \braket{j,m|J_+^\dagger J_+|j,m} \\ &= \braket{j,m+1|j,m+1} \\ &= c_+^2 \end{align*} $$ 一方で式\eqref{eq:jmp_j3}より $$ \begin{align*} \braket{j,m|J_-J_+|j,m} &= \braket{j,m|(\bm{J}^2-J_3^2-J_3)|j,m} \\ &= j(j+1)-m^2-m \\ &= (j-m)(j+m+1) \end{align*} $$ 両者を比較して、$c_+=\sqrt{(j-m)(j+m+1)}$ となる。
$$ \begin{align*} \braket{j,m|J_+J_-|j,m} &= \braket{j,m|J_-^\dagger J_-|j,m} \\ &= \braket{j,m-1|j,m-1} \\ &= c_-^2 \end{align*} $$ 一方で式\eqref{eq:jpm_j3}より $$ \begin{align*} \braket{j,m|J_+J_-|j,m} &= \braket{j,m|(\bm{J}^2-J_3^2+J_3)|j,m} \\ &= j(j+1)-m^2+m \\ &= (j+m)(j-m+1) \end{align*} $$ 両者を比較して、$c_-=\sqrt{(j+m)(j-m+1)}$ となる。
$J_+\ket{j,j}=0,\, J_-\ket{j,-j}=0$ を満たすので、$m$ の取りうる範囲とも矛盾しません。
軌道角運動量
3次元空間の量子力学を考えて、軌道角運動量演算子を $$\begin{equation} \hbar\bm{L}=\bm{x}\times\bm{p} \label{eq:Lxp} \end{equation}$$ と定義します。$\bm{L}$ は無次元量です。
$\bm{L}$ が実際に空間回転の生成子になっていることは、以下のようにして確かめられます。
任意の $\psi(\bm{x})$ に対して $\bm{L}$ を生成子とする変換を行った状態 $$(\hat{R}\psi)(\bm{x})= \em^{-i\phi \bm{n}\cdot\bm{L}}\psi(\bm{x})$$ は、 観測対象を回転行列 $R$ で空間回転させた状態 $\psi(R^{-1}\bm{x})$ と等しい。
前者について、$\bm{L}$ を生成子とした変換は $$ (\hat{R}\psi)(\bm{x}) = \em^{-i\phi \bm{n}\cdot\bm{L}}\psi(\bm{x}) $$ で表される。$\bm{n}$ は、回転軸に平行かつ $\phi>0$ が右ねじの進む向きとなる単位ベクトルである。
具体的にx,y,z軸周りの変換を考える。軌道角運動量演算子\eqref{eq:Lxp}は、座標表示において $\bm{L}=-i\,\bm{x}\times\grad$ と表せるから $$ \begin{align*} \hat{R}_x\psi &= \em^{-i\phi L_x}\psi = \em^{-\phi (y\partial_z-z\partial_y)}\psi \\ \hat{R}_y\psi &= \em^{-i\phi L_y}\psi = \em^{-\phi (z\partial_x-x\partial_z)}\psi \\ \hat{R}_z\psi &= \em^{-i\phi L_z}\psi = \em^{-\phi (x\partial_y-y\partial_z)}\psi \end{align*} $$ 有限角度の変換は無限小変換を繰り替えして得られるので、無限小変換について証明する。$\phi=\delta\phi$ の1次までを残すと $$ \begin{align*} (\hat{R}_x\psi)(\bm{x}) &\simeq \Bigl[ 1-\delta\phi(y\partial_z-z\partial_y) \Bigr] \psi(\bm{x}) \\ &= \psi(\bm{x}) -\delta\phi y\partial_z\psi(\bm{x}) + \delta\phi z\partial_y\psi(\bm{x}) \\ (\hat{R}_y\psi)(\bm{x}) &\simeq \Bigl[ 1-\delta\phi(z\partial_x-x\partial_z) \Bigr] \psi(\bm{x}) \\ &= \psi(\bm{x}) -\delta\phi z\partial_x\psi(\bm{x}) + \delta\phi x\partial_z\psi(\bm{x}) \\ (\hat{R}_z\psi)(\bm{x}) &\simeq \Bigl[ 1-\delta\phi(x\partial_y-y\partial_x) \Bigr] \psi(\bm{x}) \\ &= \psi(\bm{x}) -\delta\phi x\partial_y\psi(\bm{x}) + \delta\phi y\partial_x\psi(\bm{x}) \end{align*} $$ となる。
一般の $\bm{n}$ の場合、無限小変換を考える限り $$ \begin{align*} \em^{-i\delta\phi(n_xL_x+n_yL_y+n_zL_z)} &= 1-i\delta\phi(n_xL_x+n_yL_y+n_zL_z) + \mathcal{O}(\delta\phi^2) \\ &= (\em^{-i\delta\phi n_xL_x})(\em^{-i\delta\phi n_yL_y})(\em^{-i\delta\phi n_zL_z}) + \mathcal{O}(\delta\phi^2) \end{align*} $$ のようにx,y,z軸周りの変換に分解できて、しかも互いに交換する変換として扱うことができる。したがって、x,y,z軸周りの変換の和について上記の議論を適用すればよい。
後者について、座標系の回転はSO(3)回転行列で表現できる。 $$ \begin{align*} R_x &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \\ R_y &= \begin{pmatrix} \cos\phi & 0 & \sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi \end{pmatrix} \\ R_z &= \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} $$ 観測対象を $+\phi$ 回転させたものは、座標系を $-\phi$ 回転させたものと等しいので、後者の見方では $\bm{x}$ に逆行列を掛けることになる。
同様に無限小回転を考え、 $\delta\phi$ の1次までを残すことで $$ \begin{align*} R_x^{-1} \bm{x} &\simeq \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \delta\phi \\ 0 & -\delta\phi & 1 \end{pmatrix} \! \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +\delta\phi \begin{pmatrix} 0 \\ z \\ -y \end{pmatrix} \\ R_y^{-1} \bm{x} &\simeq \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\delta\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \delta\phi & 0 & 1 \end{pmatrix} \! \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +\delta\phi \begin{pmatrix} -z \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \\ R_z^{-1} \bm{x} &\simeq \begin{pmatrix} 1 & \delta\phi & 0 \\ -\delta\phi & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \! \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +\delta\phi \begin{pmatrix} x \\ -y \\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{align*} $$ となる。$\psi$ を $\bm{x}$ 近傍で展開して $$ \begin{align*} \psi(R_x^{-1}\bm{x}) &\simeq \psi(\bm{x}) -\delta\phi y\partial_z\psi(\bm{x}) + \delta\phi z\partial_y\psi(\bm{x}) \\ \psi(R_y^{-1}\bm{x}) &\simeq \psi(\bm{x}) -\delta\phi z\partial_x\psi(\bm{x}) + \delta\phi x\partial_z\psi(\bm{x}) \\ \psi(R_z^{-1}\bm{x}) &\simeq \psi(\bm{x}) -\delta\phi x\partial_y\psi(\bm{x}) + \delta\phi y\partial_x\psi(\bm{x}) \end{align*} $$
よって、$(\hat{R}\psi)(\bm{x}) = \psi(R^{-1}\bm{x})$ が成り立つ。
正準交換関係 $[x_i,\,p_j]=i\hbar\delta_{i,j}$ を用いると、(無次元化した)軌道角運動量演算子 $\bm{L}$ はスピン演算子の交換関係\eqref{eq:j_commute}を満たすことが確認できます。
したがって、$\bm{L}$ は代数的に定義されているスピン演算子 $\bm{J}$ の一例であり、上記で証明した性質がそのまま当てはまります。
$\bm{L}=\bm{x}\times\bm{p}/\hbar$ は $[L_i,\, L_j] = i\varepsilon_{ijk}L_k$ を満たす
軌道角運動量演算子の定義は $$ L_i = \frac{1}{\hbar}\varepsilon_{ijk}x_jp_k $$ であるから $$ \begin{align*} [L_i,\, L_{i’}] &= \frac{1}{\hbar^2}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i’j’k’}[x_jp_k,\,x_{j’}p_{k’}] \\ &= \frac{1}{\hbar^2}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i’j’k’} \left( x_j[p_k,\,x_{j’}p_{k’}] + [x_j,\,x_{j’}p_{k’}]p_k \right) \\ &= \frac{1}{\hbar^2}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i’j’k’} \left( x_j[p_k,\,x_{j’}]p_{k’} + x_{j’}[x_j,\,p_{k’}]p_k \right) \\ &= \frac{1}{\hbar^2}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i’j’k’} \left( -i\hbar\delta_{kj’}x_jp_{k’} + i\hbar\delta_{jk’}x_{j’}p_k \right) \\ &= \frac{i}{\hbar}\left( -\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kk’i’}x_jp_{k’} + \varepsilon_{jki}\varepsilon_{ji’j’}x_{j’}p_k \right) \end{align*} $$ 完全反対称テンソルの公式 $$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} $$ を適用すると $$ \begin{align*} [L_i,\, L_{i’}] &= \frac{i}{\hbar}\left\{ -(\delta_{ik’}\delta_{ji’} – \delta_{ii’}\delta_{jk’})x_jp_{k’} + (\delta_{ki’}\delta_{ij’} -\delta_{kj’}\delta_{ii’})x_{j’}p_k \right\} \\ &= \frac{i}{\hbar}\left\{ (-x_{i’}p_i + \delta_{ii’}x_jp_j) + (x_ip_{i’} -\delta_{ii’}x_kp_k) \right\} \\ &= \frac{i}{\hbar}(x_ip_{i’} -x_{i’}p_i) \end{align*} $$
一方で $$ \begin{align*} i\varepsilon_{ii’k}L_k &= \frac{i}{\hbar}\varepsilon_{kii’}\varepsilon_{klm}x_lp_m \\ &= \frac{i}{\hbar}(\delta_{il}\delta_{i’m} -\delta_{im}\delta_{i’l})x_lp_m \\ &= \frac{i}{\hbar}(x_ip_{i’} -x_{i’}p_i) \end{align*} $$
よって $$ [L_i,\, L_{i’}] = i\varepsilon_{ii’k}L_k $$
しかしながら、空間回転の演算子は $2\pi$ 回転したら恒等演算子に一致しなければならない制約があります。 $$ \em^{-2\pi iL_i} = 1 $$ これにより、量子数 $l$ は半整数になり得ず整数値のみが許されるという結論が出ます。
軌道角運動量の量子数 $l,m$ は整数に限られる。 $$ l = 0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots $$ $$ m = -l,\,-l+1,\, \cdots ,\,l-1,\,l $$
$\bm{L}^2$ と $L_3$ の同時固有状態を $\ket{l,m}$ と書くことにして、 $$ \em^{-2\pi iL_3}\ket{l,m} = \em^{-2\pi im}\ket{l,m} = 1\cdot\ket{l,m} $$ を満たす必要がある。
そのためには $m\in\mathbb{Z}$ 、それに伴い $l\in\mathbb{Z}$ でなければならない。
参考文献
- J.J.サクライ著, 桜井明夫訳『現代の量子力学(上)』吉岡書店, 1989.